尘封80年的函数成了联系数论代数和弦理论的关键

通过神秘的“魔群月光猜想”，研究者正努力探究数论、代数和弦理论之间不可思议的联系。

1978年，数学家约翰·麦凯（John McKay）注意到了某些像是奇怪巧合般的现象。当时，他正在研究一类神秘难解的单群，并试图探究其结构的不同表达式——这类散在单群有着所有已知散在单群中最大的阶数，数学家们称它为“魔群”（Monster Group），他相信“魔群”中隐藏着一些新的对称规律。不过，那时的数学家们并不能确定“魔群”是否真实存在，但是他们知道，如果真能找到符合条件的“魔群”，它们一定有着特定的阶数，最小的阶数是1，随后是196883。

麦凯当时正在加拿大蒙特利尔的康考迪亚大学，有一天他碰巧看到一篇有关完全不同领域的数学论文，论文中讨论的是数论中的基本对象之一——J函数。麦凯敏锐地注意到J函数的第一个重要系数是196884，他马上想到这是魔群前两位特殊阶数（1和196883）的数量之和。

不过对于这个发现，大多数数学家都认为只是偶然现象，毕竟魔群和J函数简直就是风马牛不相及的两个事物。但凡事总有例外——数学家约翰·汤普森（John Thompson）注意到了魔群和J函数之间奇妙的联系，并将这个发现又向前推进了一步。汤普森教授现在正在美国佛罗里达大学，他是1970年菲尔兹奖（Fields Medal）的获得者。汤普森教授发现了J函数的第二个系数：21493760，居然是魔群前三个特殊阶数的数值和:1 + 196883 + 21296876。到了这个地步，人们不禁怀疑，J函数在某种程度上可以“约束”捉摸不定的魔群结构。

菲尔兹奖，正式名称为国际杰出数学发现奖（The International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics），每四年评选2~4名有卓越贡献且年龄不超过40岁的数学家，被认为是年轻数学家的最高荣誉，和阿贝尔奖均被称为数学界的诺贝尔奖。

很快，另两名数学家又证实了许多类似的数学上的联系，这让数学家们意识到这些现象绝非单纯的巧合。1979年，在一篇名为《魔群月光》（Monstrous Moonshine）的论文里，约翰·康威（John Conway，现为普林斯顿大学数学教授）和西蒙·诺顿（Simon Norton，剑桥大学数学教授）一同推测，这些数学上的相关性，必定来自于魔群与J函数在更深层次上的联系。“他们将这个猜想命名为‘月光’，不是因为这个猜想富有浪漫色彩，而是指这个猜想是那么地可望而不可即。”德国马普数学研究所主任唐·扎吉尔（Don Zagier）这么说道，“在当时看来，这个猜想简直就是空谈和妄想，指望有人能证明它不过是一厢情愿罢了。”

实际上就连构建魔群本身，花去的时间也远比数学家们所计划的长得多，不过数学家们给自己找到了一个非常好的借口：魔群中包含的元素数目超过了10的53次方，这个数字比地球上所有原子的1000倍还要多。在1992年，也就是密歇根大学的罗伯特·格里斯（Robert Griess）构建出魔群的十周年之际，加州大学伯克利分校数学系教授理查·博赫茲（Richard Borcherds）终于揭开了过去那个遥不可及的“月光”幻想的神秘面纱，并凭此获得了1998年的菲尔兹奖。博赫茲证实，在魔群和J函数这两个完全不同的数学领域之间确实存在着一个连接的桥梁，这个桥梁可能会让你有些惊讶，它的名字是：弦理论。这个与常识相悖的理论告诉我们，宇宙中存在着许多微小的隐藏维度，微小到人们根本无法直接探测到它们；而在这些维度之中存在着“弦”，这些弦的振动能产生我们在宏观尺度下观察到的物理现象。

博赫茲教授的发现在纯粹数学（专门研究数学本身，不以应用为目的的学问）领域引发了一场革命，开创了领域中一个全新的分支——广义卡茨-穆迪代数（generalized Kac-Moody algebras）。只不过从弦理论的角度来看，这些发现不过是一潭无关大局的死水罢了。联系着J函数和魔群的24维弦理论模型与弦理论真正的研究热点相距甚远。“虽然我承认从数学的角度来看，发现了两者（J函数和魔群）间的联系纽带或许是令人振奋的，但是对大多数物理学家而言，这个发现就像是弦理论中一个毫不起眼的犄角旮旯。”斯坦福大学的弦理论物理学家沙米特·卡赫鲁（Shamit Kachru）这么告诉我们。

然而令人欣喜的是，现今“魔群月光”正在经历一场复兴革命，人们相信它的深处蕴藏着最终能够帮助弦理论研究的启示。在过去的五年内，从类似麦凯的研究起步，数学家们和物理学家们渐渐察觉到，象征着魔群和J函数联系的猜想——“魔群月光”仅仅只是整个故事的开始。

2015年，研究者在论文预印本网站arxiv.org上发表了一篇论文，展示了一系列被他们称为“伴影月光猜想”（Umbral moonshine conjecture，构想于2012年）的数学证据。在这篇论文中，研究者提出在“魔群月光猜想”（魔群和J函数之间存在联系）之外，还存在着其他23种不同的“月光猜想”：即在对称群的阶数和一些特殊函数的系数之间，存在着原理未知的奇妙对应（如果你不能理解阶数和系数的关系，看下图）。其实，这些新加入的“月光猜想”中的函数，早就出现在某位数学史上难得一见的天才的一封信里。这封颇有先见之明的信件早已遥遥领先其所处时代，就算再往后推半个世纪，“月光猜想”也还只是数学家们脑海中惊鸿一瞥的念头。

以魔群月光为例，上面那个是J函数的展开式，下面这个图等号的左边是魔群的阶数，右边是一系列包含J函数展开的系数的算式。简言之，魔群的阶数可以用一系列J函数系数的运算式来表示，这两者间有关系的猜想被称为“魔群月光猜想”。其他的类似的对称群阶数和函数系数之间的关系被称为其他名字的“月光猜想”。

新找到的23种“月光猜想”似乎到处都交织着弦理论中最核心的结构之一——一种被称为“K3曲面”的四维实流形。“该曲面与‘伴影月光猜想’的紧密联系暗示着在这些曲面中存在着某些隐藏的对称性。”来自阿姆斯特丹大学和法国国家科学研究中心的数学家、理论物理学家程之宁（Miranda Cheng）这么说道，她与美国凯斯西储大学数学家约翰·邓肯（John Duncan）和芝加哥大学物理学家杰弗里·哈维（Jeffery Harvey）一同最先提出“伴影月光猜想”，“这些发现有着非常重要的意义，我们需要更深入地去理解它们。”她接着补充。

流形，是局部具有欧几里得空间（有限维实内积空间）性质的空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。

对称性，此处的对称性指数学意义上的对称性，与日常用语中对称性不同。

这些新发表的理论证据有力地表明，这23个新发现的月光猜想必定有其对应的弦理论模型，而这些模型将会帮助我们简化“月光猜想”并理解其错综复杂的相关性。可惜的是，现有的证据还并不能真正构建出相关的弦论模型，只是给物理学家们留下了一个撩人的诱惑。“等到我们真正弄懂了‘月光猜想’的那天，它就会以物理学的形式呈现在我们面前。”邓肯说。

魔群月光

任何已知图形的对称性中都暗含一种天然的算术特性。举例来说，假设我们将一个正方形旋转90度后水平翻折，那么我们得到的图形与我们直接沿对角线翻折原图形是一样的——也即是说，“90度旋转+水平翻折=沿对角线翻折”。19世纪，数学家们意识到他们可以将这种类似的算法抽象为“群”（group）的代数概念。单一的抽象群能够表征多种不同形状的图形的对称性，这让数学家们可以见微知著，从一个小点出发理解不同图形的共性。

【图注】正方形旋转90度后水平翻折与直接沿对角线翻折效果一致。即90度旋转+水平翻折=沿对角线翻折

在整个20世纪的大多数时间里，数学家们都致力于给所有能找到的“群”分类。而在这个过程中，他们渐渐发现了一些奇怪的现象：尽管大多数简单有限群都符合自然分类，但是有26个“怪胎”却与整体的分类法格格不入，它们被称为散在单群。而在这26个“怪胎”中最大的、也是最晚才被科学家们发现的，就是魔群。

有限单群的分类是代数学里的一个巨大的工程。有关的文章大多发表于1955年至2004年之间，目的在于将所有的有限简单群都给清楚地分类。这项工程总计约有100位作者在500篇期刊文章中写下了上万页的文字，详见《环球科学》2015年8月号《拯救宇宙中最宏伟的定理》。

要讲述这个“魔群月光”的故事，显然只有魔群并不够——故事还需要第二个主角：J函数。在麦凯偶然发现魔群和J函数间存在联系（约40年前）之前，人们压根儿没想到这两者之间会有什么关系。J函数属于一类特殊的函数（模函数），这类函数的图像有着类似于荷兰知名版画艺术家莫里茨·埃舍尔（M. C. Escher）所画的天使与魔鬼镶嵌图的重复样式：在这种重复样式里，越远离中心图案缩得越小（见下图）。这些‘模块化’的函数（即模函数，modular function）在数论研究中可是立下了不少汗马功劳——就比如在1994年数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明费马大定理（Fermat’s Last Theorem）的过程中，模函数就起到了决定性的作用。“任何时候如果有人告诉你数论领域有了新的巨大突破，那么这个结论十有八九是和模函数相关的。” 卡赫鲁这样告诉我们。

【图注】模函数图像呈现出瓷砖似的的重复样式；

就像声波一样，J函数显示出的重复模式也可以被分解为一系列正弦波，而函数的系数就是正弦波的振幅，如果用声波作比，系数代表的就是我们感知到每一个频率声音的响度。（对于学过高等数学的读者，事情就比较简单了，这就是J函数的傅里叶展开系数。）好了，说到这里现在我们可以将J函数和魔群联系起来了，麦凯正是通过这些展开的函数系数找到了J函数和魔群之间的关系。

早在20世纪90年代，以耶鲁大学伊戈尔·弗伦克尔（Igor Frenkel）、罗格斯大学詹姆士·莱彼斯基（James Lepowsky）和瑞典隆德大学的阿恩·摩尔曼（Arne Meurman）这三位数学家的工作为基础，博赫兹（上文中提到的魔群月光的证实者）通过一个特定的弦理论模型让麦凯的发现有了实在的意义。在这个弦理论模型中，J函数和魔群同时起到了作用——J函数的系数决定着弦在每个能级（energy level）上振动方式的数目，而魔群则约束着模型在这些能级上的对称性。

这个发现给了数学家们一个全新的思维角度，即利用J函数去研究让人头脑爆炸的魔群——毕竟J函数的系数比起阶数巨大的魔群，计算起来还是要简单得多。“数学其实是一门研究‘造桥’的学科，数学家们寻找不同理论之间的联系桥梁，然后把复杂麻烦的那个，用简单清晰的另一个替代。”邓肯向我们这么解释，“只是有时候这些‘桥梁’实在好用得过头，以至于人们在找到足够证据确信它能够使用之前，它看起来就像是某种疯狂的妄想。”

“新月”朦胧

正当数学家们忙于探索“魔群月光猜想”的衍生分支时，弦物理学家们却似乎将注意力集中到了一个完全不同的问题上：他们试图弄清弦所存在的微小维度的几何结构。不同的几何结构决定着弦的不同振动方式，就像如果我们调整一面鼓的鼓面松紧程度，鼓声的音高也会随之改变。数十年间，物理学家们一直苦苦探求，想要找到可以产生宏观（即在真实世界中可以观察到的）物理现象的几何结构。

在一些最有希望的“候选结构”中，一类重要的组成部分便是一系列四维流形，人们把这些流形统称为K3曲面。卡赫鲁告诉我们，与博赫茲备受冷落的弦论模型形成鲜明对比的是，K3曲面几乎充斥着所有的弦理论教材。

关于K3曲面的几何结构是如何决定弦在每个能级上振动方式的数目，科学家们还知之甚少，不过物理学家们给出了一个较为狭义的方程，这个方程可以解出所有K3曲面中某些特定物理状态的个数。2010年，三位弦理论学家——日本京都大学的江口徹（Tohru Eguchi）、加州理工学院的大栗博司（Hirosi Ooguri）和日本东京大学的立川裕二（Yuji Tachikawa）发现，如果把上述狭义方程以某种特定的形式写出，与魔群类似的另一个“怪胎群”——拥有将近2.5亿个元素的马提厄24群（M24, Mathieu 24 Group）——中的一些系数就会突然出现。也就是说，这三位物理学家发现了一个新的“月光猜想”。

这一次，物理学家们和数学家们终于殊途同归了。“那时我参加了不少会议，几乎所有人都只在讨论新发现的‘马提厄月光猜想’。”马普数学研究所主任扎吉尔说道。

在扎吉尔当时参加的诸多会议之中，有一场于2011年7月在苏黎世举办。邓肯的一封电子邮件记录了当时的情况：在会议时，扎吉尔给他看了“一张满是数字的纸”。“扎吉尔那时正在研究一类与模函数密切相关的“类模”形式（mock modular forms），他指着那堆数字里的某一行，然后问我这些数字是不是和哪个有限群有关——我想他一开始应该只是想和我开个玩笑。”邓肯这么写道。

邓肯并不能确定扎吉尔指出的那行数字是否暗藏玄机，但巧的是，他认出了纸上的另一行数字：这些数字似乎都是一个被称作“M12”的群的阶数。兴致冲冲的邓肯马上拉来了程之宁，两人一起聚精会神地研究扎吉尔的那张纸。很快，这两人，连同杰弗里·哈维就逐渐意识到，魔群外的“月光猜想”根本就远不止M24这一个例子。同时，他们还发现，补全这张“月光宝图”的线索其实就暗藏在某位传奇数学人物的手记当中，而更有趣的是，这篇手记还有着近百岁的“高龄”。

月光伴影

1913年，英国数学家哈代（G.H.Hardy）收到了一封特殊的信件，寄信人是一名来自印度马德拉斯的会计职员，在信中，这名职员向哈代阐述了他自己发现的一些数学公式。在这些公式里，一大半是陈词滥调，还有一些呢，完全就是错误的，但是在这封信的最后一页写下的三个公式，让哈代的心狠狠地揪了一下。“这三个公式必须是正确的。”哈代回信道，一边迅速地邀请这位名叫斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）的会计职员前来英国，“否则没有人能有这样的想象力去发明它们。”

拉马努金的出名之处在于他似乎总能凭空推导出所有的数学关系，而且他确信自己的许多发现都要归功于在他脑海中频频浮现的印度女神娜玛卡尔（Namagiri）。类似于大多数天才数学家，他的数学生涯同样悲剧性地短暂，1920年，年仅32岁的他已在印度卧床不起，濒临死亡的边缘。然而在这样的时刻，他居然还写信给哈代告知他自己又发现了一种被他命名为“类θ”的数学函数（mock theta function），而这个函数，用拉马努金自己的话来说，“极其优美地”融入了数学的世界。拉马努金在信中列举了17个这些函数的例子，但并没有解释它们的共性。这个问题在之后的80多年间一直都没有得到解答，直到2002年桑德·祖格思（Sander Zwegers）发现这17个例子其实都是类模形式的样例。祖格思后来成为了扎吉尔的研究生，现在正在德国科隆大学担任数论教授。

在苏黎世的“月光猜想”会议结束之后，程之宁、邓肯和哈维逐步发现M24月光猜想只是23个不同月光猜想的其中之一，这些月光猜想中的每一个都联系着一个群的特殊阶数和一个类模形式的系数——就像魔群月光猜想把魔群和J函数联系起来一样。同时研究者推测，每个月光猜想都存在一个类似于魔群月光情况的弦理论模型，其中类模形式确定弦状态数，群决定模型的对称性。由于每一个类模形式都有其相关对应的模函数，所以模函数就像类模形式的“影子”；为了凸显两者的这种特性，三人将他们的猜想命名为“伴影月光猜想”（Umbral Moonshine Conjecture）——英文中使用的单词Umbra是“影子”一词的拉丁文。而神奇的是，拉马努金的凭空预言又再一次被证实，猜想中的许多类模形式都符合他信中的17个特殊样例。

更离奇的是，博赫茲更早的有关魔群月光的证明竟然也是建立在拉马努金的工作之上：组成该证明过程核心部分的代数对象，其实是在弗伦克尔、莱彼斯基和摩尔曼三人研究拉马努金的三个公式（就是拉马努金写给哈代的第一封信中震惊哈代的那三个）的过程中被发现的。“两封信件居然就构成了我们理解‘月光猜想’的全部基石，这简直太奇妙了，”美国埃默里大学的数学家肯·小野（Ken Ono）不禁感叹，“缺少了任何一封，我们都无法完整地写下这个‘故事’。”

怪兽在哪里？

在arxiv.org上新发表的论文中，邓肯、小野和小野的研究生迈克尔·格里芬（Michael Griffin）提出了一系列“伴影月光猜想”的运算证据。伴影月光的其中之一——M24伴影月光猜想在这之前已经被加拿大阿尔伯塔大学的特里·甘农（Terry Gannon）所证明。这次的全新分析仅为物理学家们提供了一些线索，提示他们该从弦理论的何处去寻找将对称群和类模形式统一化的钥匙。话虽如此，但哈维依旧认为数据验证的大方向是正确的。“我们已经看到了所有的结构，它是那么复杂、那么引人困惑、却又是那么的让人想去探寻它所有的奥妙——很难想象没有真理隐藏其中，”他继续说道，“提供数学上的运算证据就是提供了一些坚实可靠的工作成果，人们可以借此认真思考。”

以“伴影月光猜想”为基础的弦理论可能已经“不仅仅只是某种简单意义上的物理理论，极有可能有着特殊的重要意义，”程之宁给出了这样的评价，“它暗示着在K3曲面这样的物理概念之中，一种特殊的对称性也在扮演着某些作用。”而专门研究K3曲面的研究者们却还没有发现这种对称性，她接着补充：“月光猜想给这个学科带来了新的可能，或许存在某种我们还未发现的，更好的研究该理论的方法。”

让物理学家们感到激动人心的还不止这一点，他们推测“月光猜想”还很可能与量子引力（quantum gravity）相互关联。量子引力是一门还未完全成型的物理理论，在理论上可以统一广义相对论和量子力学。2007年，普林斯顿高等研究院物理学家爱德华·威滕（Edward Witten，1990年菲尔兹奖得主，唯一获得这项荣誉的物理学家）推断在“魔群月光”中观测到的弦理论能够为构建三维条件下的量子引力理论提供新的途径。考虑到在该量子引力理论中194个可被自然归类的普通群对应着194种不同类型的黑洞，以此类推，“伴影月光猜想”也可能会让物理学家们衍生出相似的推测，带给他们研究量子引力理论的全新契机。“这一领域在未来将会大放异彩。”邓肯毫不吝惜自己对这项研究的看好。

扎吉尔说：“新发表的‘伴影月光猜想’的数据证据就像在火星上寻找生命，我们虽然没有观察到实物，但我们找到了‘他’的足迹，所以我们知道‘他’就在那里。”扎吉尔说道。现在的问题是，研究者们必须找到那只生命的实体——所幸弦理论为他们照亮了前路。“真想真正触摸到‘它’。”扎吉尔无比期待地说道。虽然“怪兽”与“月影”难以捉摸，但在这样一群数学家和科学家们的身上，闪现着‘真理追求者’的动人微光。

撰文 Erica Klarreich

翻译 叶宣伽

审校 胡家僖