科學人／數學界激讚！2女高中生發明10種畢氏定理新證法 論文登學術期刊

尼琪亚（Ne'Kiya Jackson）（左）与卡尔西亚（Calcea Johnson）（右）。图／Calcea Johnson

毕氏定理是国中数学课一定都会学到的一个定理。这个据说是所有数学定理中，证明方法最多的其中一个定理，目前已有大约400种证明。

为了500美金，跟一题数学作业拼了

卡尔西亚（Calcea Johnson）与尼琪亚（Ne'Kiya Jackson）在采访时提到，本来这就只是课堂上的一题作业，但是在500美元的奖金激励下，她们在接下来的好几个月里，把所有的时间都用在完善这个证明上面。最后他们不但发明了一个新的证明方法，赢得了纽奥良市的「城市钥匙奖」，甚至得到美国前第一夫人米歇尔·欧巴马（Michelle Obama）的赞誉。

她们也因此受邀在2023年3月在亚特兰大的美国数学学会（American Mathematical Society）地区会议上分享了他们的研究结果，成为该会议上最年轻的讲者。

在新奥尔良圣玛丽学院的一名不愿具名的志愿者鼓励下，他们将证明结果投稿至学术期刊，并于2024年10月底发表在《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）。

毕氏定理与三角学历史上的证明挑战

毕氏定理表示，在直角三角形中，斜边（最长边）的平方等于另外两边平方之和。

图撷自科学人杂志

是余弦定理是的一个特例，是最知名的几何定理之一。过去数百年来，许多数学家利用各种代数与几何方法证明这一理论。

直角三角形当然属于三角形的其中一种，数学上有一个专门研究三角形的分支，叫做三角学（Trigonometry）。多年来，用三角学来证明毕氏定理一直是不被认可的，因为三角学的基本公式隐含了毕氏定理，这会导致循环论证（circular reasoning）的问题。

尽管如此，卡尔西亚与尼琪亚仍然解决了这一数学难题，并提出以不依赖循环论证的全新证明方法。这种突破在数学界也是极其罕见，过去仅有两位数学家成功做到这等成就。

英国布里斯托大学（University of Bristol）数学学院名誉教授默多克（Tom Murdoch）也称这项研究非常有趣，并且她们打破了很多人认为不可能的成就！

研究成果与学术分享

卡尔西亚与尼琪亚避免循环论证的技巧就是，从头到尾都不要假设商高定理是对的。

卡尔西亚与尼琪亚的论文详细阐述了五种全新的三角学证明方法，并揭示出另外五种潜在证明方法，总共提供了十种证明方法。在这些证明中，仅有一项曾在会议上公开过，其余九项均为全新发现。

在他们的论文中，卡尔西亚与尼琪亚指出，三角学之所以常常让高中生感到困惑，是因为两个完全不同版本的三角学定义却使用相同术语。这导致学生在学习时如同在解读一幅重叠的双重影像。他们发现，如果分开这两个版本，并专注于其中之一，即可揭示大量的商高定理新证法。

学术界的大力赞誉

《美国数学月刊》总编辑丹堡（Della Dumbaugh）评论道：「本杰明·芬克尔（Benjamin Finkel）在1894年创立《数学月刊》时的初衷，即是要让数学知识能够被教师与学生轻松理解并应用。能够刊登这两位学生的研究成果，实属本刊的荣幸。他们的发现彰显了学生们在数学领域中的新视角与潜力，同时也突显了教育工作者在培育新一代数学家的重要角色。」

加州大学洛杉矶分校（UCLA）数学戏中生教授、菲尔兹奖（Fields Medal）得主陶哲轩（Terence Tao）也在自己的社群平台上，大力赞赏两位学生伟大的数学成就。

而两位数学少女未来是否想成为数学家呢？答案是「不想」。

卡尔西亚目前在路易斯安那州立大学（Louisiana State University）主修环境工程学。尼琪亚则于路易斯安那州的泽维尔大学（Xavier University of Louisiana）攻读药学博士学位。但是无论如何，她们都在数学史上留下伟大的贡献。

（本文出自2024.11.19《科学人》网站，未经同意禁止转载。）