数学与数学建模
我们生活在一个缤纷的世界里，这个世界里的一切在我们看来理所当然：每天差不多 24 小时、太阳落下还会升起、七天过完就是一周、热胀冷缩冷暖自知。
但是如果认真思考起来，我们似乎又对一切一无所知。
请大家回忆正整数，我们觉得它似乎是人类已知最简单的数学对象。幼儿园的小朋友就能够轻松计算 1+1=2、2+1=3、3+1=4。但是请问：正整数的定义是什么？
我们看到 1 个苹果，为什么就称之为 1 个苹果？再拿来 1 个苹果，为什么就变成 2 个苹果？为什么换成 2 个橘子数量依然是 2？1 个苹果和 1 个橘子放到一起又如何？
我们似乎默认于正整数的诸多方便属性，习惯于将其归结为我们的视觉抽象，从而当我们看到孤立的个体时，我们称其数量为 1；当我们看到两个互相分离的个体时，我们称其数量为 2。这种方便的抽象便于我们思考和交流，乃至于我们默认这是贯通于整个宇宙的统一法则。
但是让我们想象另一种文明，他们没有视觉，依靠触觉来感受物体，那么他们以什么机制来区分物体从而抽象出数字 1 和 2 呢？如果这种文明连触觉也没有，而是依靠电磁波来感知世界呢？在他们看来，两个分离的物体之间真的就空无一物吗？没有磁场吗？没有干涉和衍射吗？我们何以确定另一个地外文明能够和我们以同样或者等价的数学语言交流信息呢？
历史上有很多数学家思考过这个问题，他们希望通过严格的逻辑语言给正整数下一个定义，脱离人的一切先验假设，得到一个宇宙的真理，可惜这项工作直到今天也没有成功。哲学家康德在他里程碑式的著作《纯粹理性批判》中，认为数学的建立基础不可能是纯粹逻辑，还应包含人的“先验综合判断”[1]，这个看法后来被庞加莱通过“全归纳原理不可能由逻辑推出”论证为确实[2]。这种观点直接影响了随后两个世纪至今的数学和科学发展。罗素和希尔伯特等数学家反对这种看法，他们这派被称为逻辑主义；庞加莱等数学家赞同康德的观点并予以发展，他们这派被称为直觉主义；庞加莱同情罗素而批评希尔伯特，这两个派别的分歧被更多的数学家继承下来，直到今天也没有熄灭。
如果有一天某个外星文明造访地球，和我们互换各自文明里值得骄傲的典范例子，我想至少应当包括逻辑主义与直觉主义的这场争论。原因非常简单：这场旷日持久的争论，不是源自于对于牛奶和面包的争抢，不是源自于对于名声和职位的渴望，而是源自于对人类文明来意和去向的关照。
正因如此，我们人类文明才可以骄傲地宣称：我们也可以进行文明尺度上的思考！
让我们再来举一个文明尺度上思考的例子，这个例子出现在庞加莱的名著《科学与假设》一书中[3]：假设有一个文明，生活在一个类似于地球的球体上（我们暂且也称之为地球），但是外面被包裹着一个大过地球很多的透明球状外壳（我们暂且称之为天球），从而在我们的眼中来看他们生活在两个同心球的夹层当中。假如这个夹层有一种物理属性，越靠近地球，则温度急剧升高；越远离地球，则温度急剧降低。再假定这个文明中的人种和物品都有一种属性：热胀冷缩，而且受温度变化的影响远远比我们的世界更加敏感。在这样一个世界里，有一位学者，他希望告诉人们这个世界是有界还是无界的。他勇敢地乘坐一艘飞船，垂直于地面飞向天空。假设这位学者具有永恒的生命且这艘飞船具有永恒的动力，我们来想一想他会面临什么样的状况？
事实上，因为在这个世界里，距离地球越远，温度越低，而由于高敏感性热胀冷缩的设定，随着温度降低，飞行器以及这位学者都会急剧缩小。所以类似于 1/2+1/4+1/8+......永远递增逐渐靠近但始终无法达到 1 一样，这个学者很可能永远都飞不到天球的边界。那么他会得到什么结论呢？他会说：这个世界是无界的。
图 1 欧式几何的视角中有界的天球在非欧几何的视角中可能无界.
站在我们的视角上，这位学者的结论是荒谬的；而站在他的视角上，又何尝不会觉得我们说他的世界有界才是荒谬的呢？我们又如何能证明，我们的世界在另一个文明眼中，不是像这个文明在我们眼中一样的情景呢？我们又如何能证明我们的宇宙是有界还是无界的呢？
实际上，在我们和他们的世界里，都能创造出各自不同的几何学：我们世界里的几何学被称为欧氏几何，它描述一个刚性物体（即大小和形状不变的物体）的运动，因为我们世界里的热胀冷缩相对迟钝；但是在刚才那个文明中，他们也能发展出一整套没有矛盾的几何学说，称为非欧几何。在非欧几何中，距离中心越远，单位长度就越小。正如我们可以用我们的欧式几何学观点去描述他们的世界一样，他们也能利用他们的非欧几何学观点描述我们的世界。两套截然不同的几何学具有完全不同的性质，但是却可以互相描述、互相翻译。正是这样的思考，使得我们具有了跨越文明交流的能力。
我们再想象一个在不规则二维曲面上生活的文明，你可以想象他们生活在一张不规则弯曲的 A4 纸面上。在他们的世界里无法理解物体的刚性运动，因为任何物体如果不改变弯曲程度，在运动时就会脱离他们所处的曲面，从而在他们看来就像是从世界中凭空消失了一样。所以他们世界中的运动往往需要改变物体的形状和曲率才能办到。这个世界里的几何学被称为黎曼几何。
将二维提升到三维，我们又如何确保自己的世界不是一个局部上近似于欧式几何，但是从宇宙尺度上却是黎曼几何的世界呢？实际上，黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的标准承载结构。
图 2 黎曼几何的世界里因为曲率不平坦，刚性运动不一定被允许.
欧氏几何、非欧几何和黎曼几何，都是数学建模的产物。在当代，它们已形成了几何学研究的三个主要范畴，在不同的尺度和领域上发挥着解释性、结构性和启发性的作用。从广义上讲，几乎所有的数学，包括微积分、群论、拓扑学、交换代数、复分析、概率论等等，都是数学建模的产物。当然这些数学模型在建立之后又走出了很远，往往和它们建立之初的样子大相径庭。
从上面的例子中我们可以得到如下五个观点：
现在我们对数学有了一些可能不同于以往的新的认识。大家现在是数学的学习者，将来也不一定会成为数学家。实际上，如果中国所有的学生将来都成为数学家，在这件事实现的第二天，中国就会亡国。我们不仅需要杰出的数学家和科学家，更需要更多的具有数学素养，可以将想法通过数学实现出来的工程师和一线产业工人，需要可以支撑这些项目的负责任的企业家和金融家，需要能将人类文明传承下去的教师和作家。
换句话说，我们需要你成为你自己——成为一个可以创造属于你的独特价值的，能感受文明并幸福生活的，不焦虑、不委屈、有担当、内心充盈的你自己。
我们的教育，无论是从学科还是从社会需要的层面上，都不是为了培养仅仅能在做数学题时才能够想得起来使用数学的“做题家”。
尤为关键的一点是：无论是想成为数学家，还是想成为使用数学解决问题的一般数理工作者，还是想成为享受数字时代技术红利的新生代创业者，像上面例子中所描述的那种从无到有，从好奇心出发、追求心智上雅致的统一的思考体验，都是十分必要且宝贵的。同学们作为中学生可能无法解决人类文明中深沉而重大的前沿问题，但是大家可以尝试着去思考一些身边看到的问题。
但是问题都从哪里来呢？
某一天我在家里口渴，拿起我喜爱的一个工艺水杯喝水。这个工艺水杯近乎于半球形且杯壁很薄。我在喝水时没法做其它的事情，觉得无聊，就透过水面去看演草纸上的几何图形，我发现这些几何图形透过盛水的半球形水杯时发生了形变。我对此突然产生了好奇，就希望了解这种形变到底能将什么样的图形变成什么样。于是我利用立体几何、解析几何和导数建立一个数学模型并写成一篇文章，收录在我明年即将发表的第二本书当中。
图 3 图形透过半球形的水杯发生形变.
还有一天，我和我爱人去逛故宫，看到故宫的一段城墙很长，好奇它到底有多长？我身上没有带尺子和其他测量工具。我当然可以用脚丈量，但是这样就需要我来回走很多次以降低单次丈量的误差，这个运动量不小。我就在想是否可以借助相似三角形，借助我的手臂长度、拇指长度和城墙高度这几个可以通过和我的身高比对估计出来的量去建立一个数学模型，从而不需要走动就可以计算出城墙的长度呢？而计算出来的长度，又受这些估计量的误差有多大的影响呢？这个例子在今年 8 月份我在给北师大研究生讲课时还用到过。
图 4 如何不必走动测量城墙长度？
另一个例子同学们日常就遇到过，我们有时需要用手机扫描试卷，或者扫描某个几何图形。大家有没有发现，在某些时候，如果我们拍摄的角度有明显的倾斜，或者卷面有明显的褶皱，以至于本来应该是矩形的试卷在画面中呈现梯形或不规则多边形，虽然有的软件会自动判定试卷边界并将其通过变换调整回矩形，但是试卷上几何图形中的各种角度并不会随着这种变换恢复为试卷中原来的样子——原来的直角不见得还是直角，原来的 60 度不见得还是 60 度。那么有没有什么办法能够帮助我们将扫描出来的几何图形还原呢？实际上这也是可以的，需要使用大家以后会学到的复变函数。
图 5 不同的整形方式不一定保持图形的结构信息（例如夹角）不变.
更多例子数不胜数：如何设计高铁行李架的形状，使得物品随意放上去就能自然平衡？如何为博物馆安装防盗摄像头？如何给带有雾霾的图片去雾霾？草原上狼以兔子为食，为什么持续捕杀兔子会导致狼的数量减少而兔子的数量反而增多？如何将一个几何图形嵌入到某一个曲面上而保持测地距离不变？如何分组混检以提升大规模核酸检测的效率和准确性？甚至如何利用二八定律降低某项社会改革的推动成本？这些都可以通过建立适当的数学模型予以解决。今年我有位高三学生叫刘奕池，她建立了一个数学模型，来分析二孩和三孩政策对人口结构和人们生育意愿的影响，并依据计算结果提出政策建议。她的这篇文章在今年的 11 月初进入了清华大学丘成桐数学奖的决赛答辩。
我们刚才举了这么多利用中学知识就可以建立、分析并求解的数学模型，那么数学建模的一般步骤是什么呢？具体来说，分为“发现问题”、“提出问题”、“基本假设”、“建立模型”、“求解模型”和“检验模型”这六个步骤。这些步骤从阿基米德（公元前 287 年-公元前 212 年）时代就已经确定，与其说是数学建模的步骤，不如说已经成为数学研究和科学研究的一种基本范式。
需要注意的是，在上述六个步骤中，最重要的并非是“求解模型”，也往往不是“建立模型”，而是“发现问题”、“提出问题”和“基本假设”。初学者往往会对这最重要的三步掉以轻心，因为他们会觉得只有在纸面上写下大量的数学式子才能让自己相信研究是有“进展”的——这只能说是一种自欺欺人的麻醉，无异于慢性毒药——自然界包含着无穷多的现象，一个现象又往往包含着无穷多的事实，从这无穷多的现象的无穷多的事实中，发现可以启迪智慧发现大自然本质规律的那些，无异于大海捞针，其难度和价值可想而知；而即使发现了问题，如何定位其主要矛盾而做出适当的数学抽象，以适当的形式提出这个问题，并做出类似于公理一样的基本假设，更是一种艺术。而相较于前三步，“建立模型”和“模型求解”只需要利用扎实的数学功底沿着问题提出的方向，从当前有限的数学工具中去演绎即可，虽然多数时候也很困难，但是其难度不可与“发现问题”、“提出问题”和“基本假设”相提并论。
另一个需要强调的步骤是“检验模型”，它是从现有问题的解决方案中发现尚未解决的更深刻方面的必要步骤。初学者常犯的错误是觉得“检验模型”无足轻重。这实际上是科学精神的缺乏和研究目的的迷茫所导致。实际上，科学的进展就是不断发现解决之余的例外。如果一个人和你讲：科学研究就是解决问题。那么这个人要么是科学研究的门外汉，要么是别有用心。科学研究的目的不是解决问题，这就好像学习的目的不是为了考大学和找工作一样——科学研究的目的是从一个相对表象的问题走向另一个隐藏在其背后的更深刻的问题，这才诞生了科学研究无穷无尽的生命力。任何一个合格的数学家绝对不会梦想去穷尽一个领域的所有问题的解决，因为这件事做成的那一刻，也就是这个领域被宣告死亡时刻——没有了问题，也就丧失了所有的生命力。所以我们可以简要地讲：科学研究的过程是在不断地解决问题，而解决问题的目的，就是为了发现余下尚未解决的更深刻的问题。解决问题是为了发现问题，而非本末倒置。就像考大学的目的是为了学习，而不是学习的目的是为了考大学一样。学习的目的永远只有一个，就是为了学习本身。所以我们才能讲“活到老学到老”。现在总有人鼓吹努力学到 30 岁赚够了知识资本就不再学习，就好像 31 岁就要撒手人寰了一样，这样的人无法理解“活到老学到老”这句话背后的逻辑。
这个世界是缤纷多彩的，数学也是。我们所学的数学知识就像探照灯，帮我们在缤纷的世界里寻找现象背后的本质规律、欣赏数学花园里的瑰丽景色。希望同学们能将所学的知识内化为具有自己独特风格的、因人而异的不同探照灯，从而在文明里记录下属于你们每个人不一样的历程。
请同学们永远记住：数学乃至一切科学的历程，注定都是由人来书写的；而你，作为人类文明里现实存在的一员，是这段历程中不可或缺的一份子！
参考文献：
[1]康德著, 李秋零译, 康德三大批判合集, 北京:中国人民大学出版社, 62-64, 2016.9.
[2]昂利·彭加勒, 科学与方法, 北京:商务印书馆, 110-123, 2010.1.
[3]昂利·彭加勒, 科学与假设, 北京:商务印书馆, 58-61, 2006.8.